Induksi matematika merupakan pembuktian deduktif, meski namanya induksi. Induksi matematika atau disebut juga induksi lengkap sering dipergunakan untuk pernyataan-pernyataan yang menyangkut bilangan-bilangan asli.

Pembuktian cara induksi matematika ingin membuktikan bahwa teori atau sifat itu benar untuk semua bilangan asli atau semua bilangan dalam himpunan bagiannya. Caranya ialah dengan menunjukkan bahwa sifat itu benar untuk n = 1 (atau S(1) adalah benar), kemudian ditunjukkan bahwa bila sifat itu benar untuk n = k (bila S(k) benar) menyebabkan sifat itu benar untuk n = k + 1 (atau S(k + 1) benar).
[sunting] Contoh

Buktikan bahwa jumlah n bilangan ganjil pertama adalah n2.

Persamaan yang perlu dibuktikan:

S(n) = 1 + 3 + 5 +\cdots + 2n - 1 = n ^ 2

Langkah pembuktian pertama:
untuk \ n = 1, benar bahwa \ S(1) = 1 ^ 2 = 1

Langkah pembuktian kedua:
andaikan benar untuk n = k, yaitu

S(k) = 1 + 3 + 5 + \cdots + 2k - 1 = k ^ 2, maka akan dibuktikan benar pula untuk n = k + 1, yaitu

S(k + 1) = 1 + 3 + 5 + \cdots + 2k - 1 + 2(k + 1) - 1 =(k + 1) ^ 2

sekarang sederhanakan persamaan pada sisi kiri dengan mengingat bahwa k2 = 1 + 3 + 5 + ... + 2k − 1 sesuai dengan pengandaian awal

[1 + 3 + 5 + \cdots + 2k - 1] + 2(k + 1) - 1 = k ^ 2 + 2(k + 1) - 1

kemudian padankan bentuk sederhana tadi dengan sebelah kanan

\ k ^ 2 + 2k + 1 = (k + 1) ^ 2, ingat bahwa (k + 1)2 = k2 + 2k + 1
\ (k + 1) ^ 2 = (k + 1) ^ 2 (terbukti benar)

Kesimpulan:
Jadi, S(n) benar untuk semua bilangan asli karena memenuhi kedua langkah pembuktian.

 Induksi Matematika merupakan suatu teknik yang dikembangkan untuk membuktikan pernyataan  Induksi Matematika digunakan untuk mengecek hasil proses yang terjadi secara berulang sesuai dengan pola tertentu  Indukasi Matematika digunakan untuk membuktikan universal statements  n  A S(n) dengan A  N dan N adalah himpunan bilangan positif atau himpunan bilangan asli.  S(n) adalah fungsi propositional


TAHAPAN INDUKSI MATEMATIKA  Basis Step : Tunjukkan bahwa S(1) benar  Inductive Step : Sumsikan S(k) benar

Akan dibuktikan S(k)  S(k+1) benar

 Conclusion : S(n) adalah benar untuk setiap n bilangan integer

positif


PEMBUKTIAN INDUKSI MATEMATIKA Contoh 1 : Buktikan bahwa : 1 + 2 + 3 + … + n = ½ n(n+1) untuk setiap n bilangan integer positif



Jawab :  Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :

1 = ½ 1 . (1+1)  1 = 1

 Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan 1 + 2 + 3 + …+ k = ½ k (k+1)  adib. Untuk n = k+1 berlaku 1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = ½ (k+1) (k+2)

Jawab :  1 + 2 + 3 + …+ (k+1) = (k+1) (k+2) / 2 1 + 2 + 3 + …+ k + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2

k (k+1) / 2 + (k+1) = (k+1) (k+2) / 2 (k+1) [ k/2 +1 ] = (k+1) (k+2) / 2 (k+1) ½ (k+2) = (k+1) (k+2) / 2 (k+1) (k+2) / 2 = (k+1) (k+2) / 2

 Kesimpulan : 1 + 2 + 3 + …+ n = ½ n (n +1) Untuk setiap bilanga bulat positif n

Contoh 2 : Buktikan bahwa : 1 + 3 + 5 + … + n = (2n - 1) = n2 untuk setiap n bilangan bulat positif

Jawab :  Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :

1 = 12  1 = 1

 Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan 1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) = k2  adib. Untuk n = k + 1 berlaku 1 + 3 + 5 + …+ (2 (k + 1) – 1) = (k + 1)2 1 + 3 + 5 + …+ (2k + 1) = (k + 1)2 1 + 3 + 5 + …+ ((2k + 1) – 2) + (2k + 1) = (k + 1)2 1 + 3 + 5 + …+ (2k - 1) + (2k + 1 ) = (k + 1)2

k 2 + (2K + 1) = (k + 1)2 k 2 + 2K + 1 = k 2 + 2K + 1

Kesimpulan : 1 + 3 + 5 + … + n = (2n - 1) = n2 Untuk setiap bilangan bulat positif n

Contoh 3 : Buktikan bahwa : N 3 + 2n adalah kelipatan 3 untuk setiap n bilangan bulat positif

Jawab :  Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh :

1 = 13 + 2(1)  1 = 3 , kelipatan 3

 Induksi : misalkan untuk n = k asumsikan k 3 + 2k = 3x  adib. Untuk n = k + 1 berlaku (k + 1)3 + 2(k + 1) adalah kelipatan 3 (k 3 + 3k 2 + 3 k+1) + 2k + 2 (k 3 + 2k) + (3k 2 + 3k + 3) (k 3 + 2k) + 3 (k 2 + k + 1) Induksi 3x + 3 (k 2 + k + 1) 3 (x + k 2 + k + 1) Kesimpulan : N 3 + 2n adalah kelipatan 3 Untuk setiap bilangan bulat positif n